首先,导数是一个极限!谁的极限呢?
导数是差商之极限!
微分学的核心概念是导数:一个量的变化与另一个量的关系.
量的变化即是差分(Δ)或微分(d),
不要把微分与差分割裂开来理解.
导数的定义是两个变化量的比值的极限,即差商的极限!
如果存在一个数A使得线性比例关系dy=Adx成立,而且A就称为导数,记作f'(x)=A, 那么函数f(x)在x点称为可微的.
A.→=→
A.↓=↗
实数域和复数域关于导数的示意图:实函数,导数代表缩放;复函数,导数代表伸扭!
导数和变化率,原动力源于曲线求切线和物理求速度!
1.切线
切线的斜率就是导数!
1.1. 切线定义1
曲线y=f(x)在点P(a,f(a))处,过P点割线斜率存在极限,该极限处的割线即是过P点的切线.
我们把一条曲线的局部使用放大镜放大若干倍,将看到局部曲线象一条直线,与这部分的切线几乎没有区别!
1.2. 切线定义2
如果h=x-a,则
x=h+a
定义见下图中m!
- 速度
位移函数:s=f(t)
令:h=t-a
t=a+h
耗费时间段t=a至t=a+h,则
路程为f(a+h)-f(a),
平均速度=位移/时间段=(f(a+h)-f(a))/h
看图说话...
速度公式同切线定义形式2,也是一个导数!
- 导数
函数f在a点的导数写为:f'(a)
该极限存在.
x=a+h
h=x-a
于是
正如在曲线某点P的切线求取中所得:切线的斜率=差商的极限=导数
- 变化率
y=f(x),y依赖于x
x的增量:
Δx=x2-x1
y相应变化量:
Δy=f(x2)-f(x1)
差商(变化率):
Δy/Δx=(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)
瞬时速度
这个极限就是导数f'(x1),是y=f(x)依随x在x=x1时的瞬时变化率!
5.导数函数
不变数a
变量x替换a,导函数
导函数其他表示法:
导函数在域内每点导数存在,即该区域的点可微,所在域连续!
(反过来说,所在点连续,则该点不一定可微,导数也不一定存在!凡是有孔洞\拐角\跳变的函数,皆不可微.例如y=|x|,参见下图图像!)
6.高阶函数求导函数
7.求导规则
7.1 乘以常数\加法 \减法\乘法\除法\乘方(幂)
7.2 指数函数求导
7.3 三角函数求导
7.4 链式规则求导
链式规则
复合函数求导
8.反导数
如果x在区间I内,F'(x)=f(x),则F(x)是f(x)的反导数.
